Formulación Lagrangiana de la Mecánica.

Todos conocemos la segunda ley de Newton de la que se deriva una de las más famosas ecuaciones de la Física y que se emplea en multitud de ámbitos, hablo de .

Hasta cursos altos del grado en Física la formulación newtoniana funciona a las mil maravillas; pero tiene un inconveniente y es que cuando los problemas van aumentando en complejidad el uso de unas coordenadas distintas a las cartesianas se hacen necesarias para la simplificación de los mismos. La ecuación del movimiento de Newton se complica sobremanera con el uso de coordenadas menos habituales. Por tanto es necesario encontrar otro tipo de formulación que sea general, que funcione igual para cualquier sistema de coordenadas y que emplee una ecuación del movimiento equivalente. Esto nos lo proporciona la Formulación Lagrangiana.

Debe haber algo en la Naturaleza que poder minimizar, algo para ver el movimiento de los sistemas a través de un principio más simple, algo que sea inherente a la naturaleza, que haga que los cuerpos caigan, que los muelles estén inextendidos en reposo… A esto se le llamó acción () y viene dada por la variación en el tiempo del lagrangiano () del sistema. El Principio de Mínima Acción (o principio de Hamilton) prevé que todo sistema mecánico tiende a hacer su acción mínima en su movimiento.
Por tanto la función lagrangiana se define como la energía cinética () de la partícula menos su energía potencial (); y viene dada por la posición () de las partículas y de sus derivadas temporales (), pero no por sus aceleraciones.

Podemos extraer ciertas conclusiones tan solo con observar la lagrangiana de un sistema:

Si el tiempo no aparece en la lagrangiana se conserva la energía.

Si la distancia no aparece en la lagrangiana se conserva el momento lineal.

Si el ángulo no aparece en la lagrangiana se conserva el momento angular.

De estas percepciones podemos ver qué hace de la formulación lagrangiana (junto con la hamiltoniana) una herramienta de uso común en la Física. Por ejemplo en relatividad especial el tiempo deriva en la energía y la distancia lo hace en el momento. En mecánica cuántica el principio de incertidumbre de Heisenberg relaciona la incertidumbre de las medidas entre posición y momento, que son a su vez las transformadas de Fourier de las unas con las otras.

Hay que hacer notar que este no es el proceso histórico que llevó a Lagrange a completar su formalismo. Lagrange lo derivó directamente de las ecuaciones de Newton para conseguir la independencia de las coordenadas y mayor sencillez. Se ha expuesto un camino ficticio, empleando ideas posteriores a Lagrange usadas por Hamilton y Feynman pero que pretenden hacer que estos desarrollos sean más comprensibles.